Bourbaki, Dieudonné và Grothendieck

Lời dẫn. Bài viết để tưởng nhớ Alexandre Grothendieck (28/3/1928-13/11/2014), người vừa mất cách đây một tuần.  

Nice (France) trong tiết trời se lạnh của một buổi chiều cuối thu, tại labô J.A. Dieudonné, nhóm chúng tôi đang thảo luận trong một seminar nhỏ về giải tích hàm. Như thường lệ, cuối mỗi buổi nói chuyện chúng tôi đưa vào một số chú dẫn lịch sử liên quan. Hôm đó, nhân nói về định lý Banach-Alaoglu-Bourbaki, nhóm Bourbaki cùng các thành viên nổi bật như J.A. Dieudonné, A. Grothendieck trở thành đề tài để anh em “chém gió”! Thật bất ngờ, sáng ngày hôm sau, chúng tôi nhận được tin Grothendieck qua đời. Bài viết này giới thiệu sơ lược một số thông tin về Bourbaki cùng cuộc đời và những đóng góp của Grothendieck, một trong những nhà toán học lớn nhất của thời đại chúng ta, như một cách để tưởng nhớ đến ông, và người thầy của ông, J.A. Dieudonné, người mà sau này được đặt tên cho labô Toán của Đại học Nice.

1. Nicolas Bourbaki – Một nhân vật huyền thoại

Nói là “nhân vật”, bởi vì cái tên N. Bourbaki được dùng đứng tên cho nhiều tác phẩm và sách vở khoảng giữa thế kỉ 20, tạo ra những ảnh hưởng vượt ra ngoài biên giới châu Âu. Nói là “huyền thoại”, bởi nhân vật đó, dù có thật nhưng chưa bao giờ xuất hiện, và nhuốm màu huyền thoại!

Toán học những năm đầu thế kỉ 20 phát triển rực rỡ với những tên tuổi như Henri Poincaré, Felix Klein, David Hilbert… Cùng với sự ra đời của lý thuyết tập hợp, xu hướng thống nhất hóa toán học thúc đẩy các nhà toán học đi tìm một lý thuyết, xây dựng trên nền tảng các hệ tiên đề, mô tả toàn bộ toán học bằng một hệ thống kí hiệu logic phổ quát. Tiêu biểu cho xu hướng thống nhất hóa toán học trong lịch sử là bộ sách Elements (Cơ bản) nổi tiếng của Euclid từ thế kỉ 3 trước Công nguyên (và cho đến nay vẫn còn giá trị). Không ngoài ước mơ hợp nhất toán học, một nhóm các nhà nhà toán học trẻ của Pháp lúc đó, bao gồm André Weil, Jean Alexandre Dieudonné, Henri Catan… đã nhóm họp vào cuối năm 1934. Mục tiêu ban đầu của nhóm là viết một bộ sách hệ thống toàn bộ các vấn đề của toán học hiện đại, tương tự như bộ Elements của Euclid. Và cuốn sách đầu tiên của bộ sách “Eléments de Mathématique” (Tạm dịch: Cơ sở Toán học), mang tên Théorie des Ensembles (Lý thuyết tập hợp), ra đời vào năm 1939, đứng tên N. Bourbaki. Điều đặc biệt, tên của bộ sách đã được cố tình bỏ đi chữ “s” trong “Mathématiques”, ngụ ý về một thể thống nhất của toán học. Khi những cuốn sách ra đời và trở thành những cuốn sách bán chạy, người người bàn tán đến nó, và tác giả của nó. Thoạt tiên, không ai biết N.Bourbaki là ai. Trong khi giới toán học đang cố tìm hiểu về con người kì lạ này thì các thành viên trong nhóm lại thêu dệt nên những nét bí hiểm quanh “con người” Bourbaki và ra sức giữ bí mật các thành viên của nhóm. Các nhà toán học nghiền ngẫm hành văn của Bourbaki và nhận định, Bourbaki phải là một nhóm người. Tia sáng dần hé lộ khi người ta phát hiện ra các bản thảo của Bourbaki gửi đi từ Đại học Nancy, nơi làm việc của một số nhà toán học lớn như J. Dieudonné, L. Schwartz… và từ đó, người ta dần đoán ra các thành viên chủ chốt trong nhóm, ngoài Dieudonné còn có André Weil, Henri Cartan, Szolem Mandelbrot, Jean Delsarte… và sau đó là Laurent Schwartz, Jean-Pierre Serre, Alexandre Grothendieck, Serge Lang… mặc dù không ai chính thức thừa nhận. Cũng bởi thế, nhiều người vẫn hy vọng Bourbaki là một con người bằng xương bằng thịt, và hy vọng được gặp mặt một lần. Chuyện kể rằng, tại Đại hội Toán học thế giới năm 1966 ở Nga, ban tổ chức đã gửi giấy mời Bourbaki tới tham dự và Bourbaki được cho là sẽ đến. Tin đã nhanh chóng truyền đi và rất nhiều nhà toán học đã không ngại đường sá xa xôi đến Moscow bằng được chỉ để gặp con ngườin này! Rốt cuộc, họ đã thất vọng vì Bourbaki không đến. Sau đó 2 năm, có một thông báo về “cái chết” của Borbaki được đưa ra, mà nội dung có phần hài hước, tạm dịch: “Đại gia đình Cantor, Hilbert, Noether ; đại gia đình Cartan, Chevalley, Dieudonné, Weil ; đại gia đình Cartier, Grothendieck, Malgrange, Serre;… đại gia đình nhà “lọc” và “đẳng cấu”(!), bà Adèle và Idèle (tên một số đối tượng trong Hình học đại số!), vô cùng thương tiếc báo tin, chồng, cha, ông… chúng tôi là Nicolas Bourbaki đã qua đời ngày 11 tháng 11 năm 1968, tại nhà riêng ở Đại học Nancago (tên ghép từ ĐH Nany và ĐH Chicago, nơi một số thành viên chủ chốt của Bourbaki được mời tới làm việc!). Lễ an táng được tổ chức ngày… tại nghĩa trang “Biến ngẫu nhiên”, métro Markov và Godel (!)…”. Tuy vậy, sau “cái chết” này, một số cuốn sách của Bourbaki vẫn tiếp tục được xuất bản cho đến cuốn cuối cùng vào năm 1983. Bộ Éléments de Mathématique có tổng cộng 9 tập, trình bày hầu hết các vấn đề của toán học hiện đại: Lý thuyết tập hợp, Đại số, Tôpô, Hàm biến thực, Tích phân, Đại số giao hoán, Đại số Lie, Lý thuyết phổ… Với lối trình bày sáng sủa, chính xác, hiện đại, bộ sách được hoan nghênh và được lấy làm giáo trình ở nhiều trường đại học, dù vẫn có một số người chê, thậm chí còn cho rằng ảnh hưởng của Bourbaki “không tốt cho sự phát triển của toán học”. Tuy nhiên, có một điều ai cũng phải công nhận là, phong cách trình bày của sách Bourbaki rất khoa học, và đề xuất sử dụng nhiều kí hiệu và thuật ngữ mà hiện nay được dùng rộng rãi như các dấu kéo theo =>, tương đương <=>, tập rỗng ∅, kí hiệu tích tensor, các thuật ngữ đơn ánh, toàn ánh, lọc và siêu lọc và nhiều thuật ngữ chuyên ngành khác. (Có tài liệu còn cho rằng các kí hiệu tập số N, Z, Q, R, C cũng là do Bourbaki đưa ra (!?)). Đồng thời, tham gia nhóm Bourbaki đều là những nhà toán học tài năng, và hầu hết là người Pháp (về sau có thu nạp một số “đệ tử ngoại bang” như S. Eilenberg (Ba Lan-Mỹ), A. Borel (Thụy Sỹ), John Tate (Mỹ), Serge Lang (Mỹ-gốc Pháp)…). Có đến 5 người là thành viên của Bourbaki được nhận giải thưởng toán học danh giá Fields: Laurent Schwartz (1950), Jean-Pierre Serre (1954), Alexandre Grothendieck (1966), Alain Connes (1982) và Jean-Christophe Yoccoz (1994). Với Bourbaki thì “Toán học là cuộc chơi của tuổi trẻ”, bởi vậy, họ sẽ tự động rút lui khi ngoài 50 và giới thiệu người trẻ, giỏi thay thế. Hệ quả là, Bourbaki luôn ở đỉnh cao của sức trẻ, minh mẫn và sáng tạo! Tiếc là, “con người” ấy cuối cùng cũng đã “ra đi” khi chưa đến nửa thế kỉ tồn tại ở trên đời!

2. Jean Alexandre Dieudonné (1906-1992): Phát ngôn viên của Bourbaki

Nói đến Bourbaki, không thể không nói đến Jean Dieudonné, thành viên sáng lập và giữ vai trò quan trọng trong phần lớn thời gian tồn tại của nhóm. Sinh ra và lớn lên tại Lille (một thành phố miền Bắc nước Pháp), Dieudonné sớm bộc lộ niềm đam mê của mình với sách vở, đặc biệt là các lĩnh vực khoa học tự nhiên và lịch sử. Năm 18 tuổi, ông thi đậu vào trường École Normale Supérieure de Paris danh tiếng, nơi mà ông được truyền cảm hứng bởi nhiều nhà toán học tên tuổi lúc đó như Émile Picard, Jacques Hadamard, Élie Cartan, Paul Montel… và trở thành bạn cùng lớp với André Weil-một trong những cộng sự có ảnh hướng lớn đến cuộc đời làm toán của ông sau này. Ông bảo vệ luận án tiến sĩ tại đó năm 25 tuổi, dưới sự hướng dẫn của Montel, và làm giáo sư tại Rennes, rồi Nancy. Sau khi góp phần làm nên tên tuổi của Bourbaki, ông trở thành một trong những nhà toán học uy tín nhất lúc đó và được mời đi giảng dạy ở nhiều nước châu Âu, Brazil và Mỹ. Sau một thời gian “tha hương”, vì muốn gần gia đình và chăm lo việc học hành của hai con, ông trở lại Pháp và góp phần hình thành Viên nghiên cứu cao cấp IHÉS (Institut des Hautes Etudes Scientifiques, 1958), một viện nghiên cứu Toán hàng đầu của Pháp và châu Âu, hoạt động theo mô hình Viện nghiên cứu nâng cao IAS (Princeton) của Mỹ. Ông cùng với Grothendieck là hai người giữ chức “giáo sư vĩnh viễn” (professeurs permanents) đầu tiên của IHÉS (lưu ý rằng số professeurs permanents này không nhiều, chỉ hơn chục người, và trong số hơn chục người đó đã có 7 người được giải thưởng Fields!). Thời gian đó, ông cũng được bầu làm Hội trưởng Hội Toán học Pháp. Năm 1964, ông đến Nice và trở thành trưởng khoa Khoa học đầu tiên của Đại học Nice. Trong nhiều năm liền, Dieudonné giữ vai trò như một “người phát ngôn”, một thư kí chuyên trách công việc liên lạc, thư từ và đưa các ý tưởng của Bourbaki đến với công chúng. Vừa làm cầu nối Bourbaki với giới toán học, ông cũng giữ vai trò quan trọng trong việc định hình phong cách viết cũng như sự ra đời của bộ sách Éléments de Mathématique. Ngoài công việc chung của Bourbaki, ông cũng viết rất nhiều sách vở và công trình toán với tổng cộng hơn 200 tác phẩm. Cùng với học trò Grothendieck, ông góp phần cho ra đời dự án sách Éléments de géométrie algébrique (Tạm dịch: Cơ sở Hình học đại số), xuất bản từ năm 1960 đến 1967, bộ sách được coi là một hệ thống chuyên khảo quan trọng bậc nhất và là hòn đá tảng của Hình học đại số hiện đại. Nhiều bộ sách có giá trị khác của Dieudonné có thể kể đến như La Géométrie des groupes classiques (Hình học của nhóm cổ điển, 1955), Foundations of Modern Analysis (Cơ sở Giải tích hiện đại, 1960, đã được dịch ra tiếng Việt bởi GS Phan Đức Chính), Algèbre linéaire et géométrie élémentaire (Đại số tuyến tính và Hình học, 1964), Éléments d’analyse (Giải tích Toán học, 9 cuốn, 1960-1982)… Dieudonné cũng là người có nhiều đóng góp cho Lịch sử toán. Ông xuất bản một số cuốn sách về lĩnh vực này như Lịch sử Giải tích hàm (1981), Lịch sử Hình học đại số (1985),Lịch sử Đại số và Tôpô vi phân 1900-1960 (1989)… Năm 1970, Đại hội toán học thế giới (hội nghị lớn nhất của cộng đồng Toán học thế giới, 4 năm một lần) diễn ra tại Pháp và Nice được chọn làm nơi tổ chức, có lẽ phần nào vì những ảnh hưởng của ông. Những năm cuối đời, ông chuyển về Paris, sống một cuộc sống thanh nhàn trong một căn nhà nhỏ có cửa sổ hướng ra tháp Eiffel cùng người vợ hiền mà ông gặp lần đầu năm 1934. Ông vẫn tiếp tục làm việc, viết sách và cống hiến. Mặc dù ông từng chia sẻ rằng thích công việc nghiên cứu thuần túy hơn là giảng dạy, nhưng với những gì ông để lại cũng xứng đáng để ghi nhận ông như một trong những nhà Toán học, nhà Sư phạm lớn mà đất nước Pháp sản sinh ra. Có người nói rằng, trước khi qua đời, trên bàn làm việc của ông vẫn còn bộ từ điển tiếng Hy Lạp. Bởi vì cho đến khi sắp tạm biệt trần thế để đi vào cõi vĩnh hằng, ông vẫn đau đáu về một việc, là học tiếng Hy Lạp để có thể đọc bản gốc cuốn sách Elements của Euclid và lĩnh hội được những tinh túy mà vị tiền bối mấy nghìn năm trước để lại. Ngày 29/11/1992, “trái tim” của Bourbaki ngừng đập, “Euclid của thế kỉ 20” từ giã cõi đời để tìm về với các vị cao nhân. Có lẽ ở đó, ông sẽ được gặp Euclid và sẽ thỏa ước nguyện mà lúc còn sống ông chưa hoàn thành.

3. Alexandre Grothendieck (1928-2014) – Thiên tài toán học kì lạ

Một nhà toán học thiên tài
Học trò, và cũng là cộng sự xuất sắc nhất của Dieudonné là Grothendieck. Sinh ra tại Đức trong một gia đình gốc Do Thái (người Do Thái có lẽ là chủng tộc thông minh nhất thế giới!). Chiến sự nhiễu nhương và chính sách bài Do Thái của phát xít Đức trong chiến tranh thế giới thứ hai đã đẩy gia đình ông vào cảnh li tán. Cả gia đình họ lần lượt chuyển đến Pháp và bố ông chết trong một trại tị nạn. Ông và mẹ thì sống trong trại tập trung ở Montpellier, nơi ông lấy bằng cử nhân Toán. Tốt nghiệp và vượt qua một đợt sát hạch, ông được nhận học bổng lên học tiếp ở École Normale Supérieure de Paris (ENS). Tuy nhiên, như một duyên số, sau 1 năm ở ENS ông được Heri Catan gửi đến Nancy, cái nôi của Bourbaki, làm học trò của hai nhà toán học trẻ trung năng động lúc đó là L. Schwartz và J. Dieudonné. Môi trường thuận lợi và lại được dìu dắt bởi những người thầy giỏi, chính tại nơi đây, tố chất thiên tài của ông bắt đầu được bộc lộ. Chuyện kể rằng, khi được hai thầy giao cho một list 14 vấn đề chưa giải quyết được của Giải tích hàm, bảo ông chọn một cái để làm, thì mấy tuần sau ông làm hai thầy được phen “hốt hoảng” khi đã giải quyết được phân nửa số đó. Bảo vệ luận án xuất sắc năm 1953(được đánh giá là tương đương 6 luận án tiến sĩ khi đó!), ông sang Brazil rồi Mỹ làm công tác giảng dạy một vài năm. Trở về Pháp, ông tham gia nhóm Bourbaki cùng những người thầy, người bạn của mình, đồng thời trở thành một trong hai giáo sư đầu tiên của IHÉS. Quãng thời gian ở IHÉS chứng kiến giai đoạn hoàng kim nhất trong sáng tạo toán học của Grothendieck. Thời gian này, ông bắt đầu chuyển hướng quan tâm sang Hình học đại số, và có những bước đi đột phá. Cùng với Jean-Pierre Serre, ông đã tạo nên một cuộc cách mạng thực sự trong Hình học đại số khi giới thiệu khái niệm lược đồ (schéma). Dự án sách EGA (Éléments de géométrie algébrique, khoảng 1500 trang) mà ông thực hiện với sự hợp tác của Dieudonné trở thành bộ sách nền tảng cho Hình học đại số hiện đại. Nhờ những đóng góp to lớn đó, ông được ghi nhận bằng giải thưởng Fields tại Đại hội toán học thế giới năm 1966 ở Moscow.

Một con người kì dị
Dù là một con người đầy tài năng nhưng đi đến đâu ông cũng gặp rắc rối vì tính cách kì dị của mình. Grothendieck đặc biệt ghét chính trị và kì thị với chiến tranh! Ông sẽ từ bỏ mọi thứ để ra đi nếu có bất cứ thứ gì đó quanh ông có dính dáng đến chính trị! Không tham gia Đại hội toán học thế giới ở Nga, nơi vinh danh ông với giải Fields (mặc dù không từ chối nhận giải), để phản đối chính sách quân sự của Nga lúc đó; không tham dự bất cứ nghị hội thảo nào cơ quan tài trợ nó “có mùi” quân sự, thậm chí, rời bỏ luôn cả IHÉS khi biết viện này được tài trợ bởi chính phủ Pháp (lúc đầu được lập ra và duy trì hoạt động bởi tư nhân). Ông cũng không nhập quốc tịch Pháp cho đến năm 1971 vì sợ phải đi lính. Sau khi rời IHÉS, ông nhận chức giáo sư ở Collège de France, nhưng chỉ được vài năm, ông bị “mất việc” vì tính cách quá cổ quái. Sau đó, ông xuống Montpellier, nơi ông ông từng theo học khi đang còn trong trại tập trung, và giảng dạy ở đó. Năm 1988, ông được nhận giải thưởng Crafoord cùng với học trò là Pierre Deligne nhưng đã từ chối không nhận. Những năm cuối đời, ông bí mật chuyển đến một ngôi làng nhỏ, cắt đứt mọi thư từ, liên lạc với cộng đồng toán học và thế giới bên ngoài, sống thanh nhàn như một nông dân cho đến ngày qua đời.

Và cảm tình với giới toán học Việt Nam
Có lẽ vì cuộc đời của ông đã gặp quá nhiều sóng gió với chiến tranh, nên ông rất đồng cảm với những vất vả, thiếu thốn mà người dân, đặc biệt là cộng đồng toán, ở một đất nước có chiến tranh phải gánh chịu, mà Việt Nam là một trong số đó. Năm 1967, ngay sau năm được nhận giải Fields, ông đã đến Việt Nam giảng bài giữa lúc cuộc chiến tranh chống Mỹ của nhân dân Việt Nam đang ở giai đoạn ác liệt nhất. Bài giảng của ông đã phải gián đoạn nhiều lần vì máy bay Mỹ ném bom, phải xuống hầm trú ẩn. Nhưng chính điều đó đã làm cho ông yêu mến cộng đồng toán học Việt Nam, ông rất ngạc nhiên vì giữa bom đạn mà vẫn có những nhà khoa học hăng say làm toán. Bởi thế, ngay sau kết thúc chuyến đi, ông đã viết một bài viết về đời sống toán học ở Việt Nam, và trong bài viết đó ông đã chứng minh một định lí nổi tiếng, định li “Tồn tại nền Toán học Việt Nam”. Cùng nhờ đó, toán học Việt Nam được cộng đồng thế giới biết đến nhiều hơn, và mở đường cho nhiều chuyến viếng thăm Việt Nam về sau của nhiều nhà toán học khác.

Con người và cuộc đời kì lạ của Grothendieck vốn đã là đề tài của hàng trăm bài báo sách vở (và bản thân ông cũng viết cuốn hồi kí gần 1000 trang!), nên chỉ trong một phần nhỏ của bài viết này không thể khái quát hết được. Bạn đọc có thể xem thêm nhiều thông tin thú vị khác từ bài viết của GS Hà Huy Khoái ( http://www.hahuykhoai.wordpress.com/2012/06/02/ton-tai-nen-toan-hoc-viet-nam/) trên blog cá nhân, cũng như bài viết khá dài về cuộc đời của ông trên tờ thông tin của Hội toán học Mỹ ( http://www.ams.org/notices/200409/fea-grothendieck-part1.pdf).

Chú dẫn thêm.
1) Bourbaki đã “chết”, nhưng những hoạt động khoa học “ăn theo” thì vẫn còn. Hiện nay, cứ 3 năm một lần, hội “Các cộng tác viên của Bourbaki” lại tổ chức một seminar và thu hút nhiều nhà toán học trên khắp thế giới tham dự.

2) Sau khi Dieudonné qua đời, để ghi nhớ công lao, tên của ông đã được đặt cho labô Toán của Đại học Nice. Ngoài Dieudonné, còn có hai nhà toán học trẻ tuổi tài năng khác của khoa Toán ĐH Nice (hiện vẫn đang làm việc tại Labo Dieudonné) là thành viên của Bourbaki, đó là Arnaud Beauville (chuyên ngành Đại số-Hình học-Tô pô, sinh năm 1947) và Gilles Lebeau (chuyên ngành Giải tích-Phương trình Đạo hàm riêng, sinh năm 1954). Có một thông tin thêm, Arnaud Beauville có một học trò người Việt Nam là TS trẻ Nguyễn Đạt Đăng, hiện đang giảng dạy tại khoa Toán, ĐHSPHN.

3) Trong số các học trò của Grothendieck, có một nhà toán học Việt Nam là Hoàng Xuân Sính, được coi như nhà nữ toán học đầu tiên của Việt Nam, nguyên trưởng khoa toán tại Đại học Sư phạm Hà Nội.

4) Bài viết có tham khảo một thông tin từ wikipedia tiếng Pháp (www.fr.wikipedia.org/wiki/Nicolas_Bourbaki, http://www.fr.wikipedia.org/wiki/Alexandre_Grothendieck) và một số thông tin khác từ internet: www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Dieudonne.html, http://www.serge.mehl.free.fr/chrono/Dieudonne.html, http://www.hocxa.com/HocToan/BaiDocThem/Bourbaki, www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Mathematicians/Grothendieck.html…

5) Update: GS Nguyễn Tiến Dũng (Toulouse) cũng có một bài viết khá dài về Grothendieck nhân sự kiện này, xem ở đây.

(Bài viết dựa trên nhiều kênh thông tin khác nhau và có thể còn có sai sót, chúng tôi hoan nghênh mọi góp ý.)

D.D.L (University of Nice, France)