Sốt mayonnaise và bầu cử tổng thống Mỹ

Lời người dịch. Nils Berglund là giáo sư toán học của Đại học Orléans, Pháp. Lĩnh vực nghiên cứu chính của ông là vật lý toán, lí thuyết hệ động lực và lí thuyết xác suất. Ngoài chuyên môn ông còn có sở thích trượt tuyết và nấu ăn. Ông cũng có khá nhiều bài viết phổ biến khoa học, một số đăng trên các tạp chí, website khoa học của Pháp, điển hình là Images des Mathématiques. Bài viết sau đây được dịch từ nguyên bản tiếng Pháp “Mayonnaise et élections américaines” đã đăng trên tạp chí Dossier Pour La Science số 91, tháng 4 – 6 năm 2016. Bản dịch đã được sự cho phép của tác giả. Một số thuật ngữ, do chưa được dịch ra tiếng Việt một cách thống nhất, hoặc để cho độc giả có thể tìm hiểu rõ hơn, chúng tôi chú thích thêm dưới dạng tiếng Anh. Tất cả các chú thích là của người dịch. Bài dịch đã đăng ở Epsilon số 10.

Chắc hẳn là bạn đã biết đến phương trình vi phân, nhưng liệu bạn có biết phương trình vi phân đạo hàm riêng ngẫu nhiên? Có nguồn gốc từ những vấn đề sống động quanh ta, chúng rất hữu ích cho việc nghiên cứu các hiện tượng khác nhau trong tự nhiên cũng như trong chính xã hội loài người. Nó là lĩnh vực nghiên cứu trung tâm dẫn đến giải thưởng Fields của một nhà toán học năm 2014.

Hãy bắt đầu với hai bài toán thực tế sau đây. Trộn lẫn một hỗn hợp dầu ăn với nước, quan sát (với các công cụ hỗ trợ tùy ý theo lựa chọn của bạn) sự lắng đọng của các phân tử trên bề mặt, và so sánh nó với trò chơi xếp hình Tetris (một trò chơi điện tử rất phổ biến từ cuối những năm 90 của thế kỉ XX). Theo dõi sự thay đổi quan điểm chính trị của người Mỹ trong tiến trình của cuộc bầu cử tổng thống sẽ diễn ra vào tháng 11 năm nay. Thật ngạc nhiên là để hiểu được những hiện tượng khác nhau từ những nguồn gốc rất khác nhau như thế, chúng ta lại cần đến sự hỗ trợ của cùng một công cụ toán học. Đó là phương trình đạo hàm riêng ngẫu nhiên (được kí hiệu là SPDE, Stochastic Partial Differential Equations), một công cụ toán học mà đã trở nên hiệu quả hơn rất nhiều nhờ các nghiên cứu gần đây của Martin Hairer, Giáo sư Đại học Warwick, Vương quốc Anh. Với những đóng góp quan trọng đó, ông được trao tặng Huy chương Fields danh giá năm 2014. Vậy SPDE là gì?

 

hinh1
Hình 1. Sự phát triển quan điểm chính trị của người Mỹ có thể mô tả bởi một phương trình đạo hàm riêng ngẫu nhiên!

Điểm khác nhau căn bản giữa SPDE với phương trình vi phân thường là ở chỗ, SPDE được áp dụng cho các hệ mô hình toán học có chiều vô hạn với một đại lượng được gọi là tiếng ồn (noise, hay các nhiễu loạn ngẫu nhiên). Nhờ đó chúng ta có thể nghiên cứu các tình huống phức tạp nơi có sự tương tác, giao thoa của rất nhiều yếu tố, như các bọt dầu, các phân tử vật chất hay những người Mỹ! Chúng ta sẽ cùng vén bức màn bí mật về các phương trình này, cũng như không quên tìm hiểu những tiến bộ quan trọng nào trong các công trình của Martin Hairer đã đưa đến cho ông ấy một giải thưởng tương đương với giải Nobel. Nhưng trước khi bắt đầu, hãy cầm lấy ngọn đuốc của bạn!

Đốt nóng một thanh kim loại một cách không đồng đều, tức là chỉ đốt ở một số chỗ nhất định trên thanh. Làm thế nào để xác định được nhiệt độ ở một vị trí nào đó của thanh kim loại theo thời gian? Chúng ta có thể trả lời câu hỏi này nhờ lí thuyết phương trình truyền nhiệt (xem Phụ lục 1 ở cuối bài viết), được giới thiệu bởi Joseph Fourier vào năm 1811. Biến trong phương trình truyền nhiệt là hàm T(x,t), mô tả nhiệt độ tại điểm x và ở thời gian t. Đây là một phương trình vi phân đạo hàm riêng, nó biểu thị sự phụ thuộc của các thông số về sự biến thiên theo không gian và theo thời gian của nhiệt độ. Người ta đã biết cách giải phương trình này, và do đó dự đoán, biết được sự phân bố nhiệt độ tại thời điểm ban đầu T(x,0), nhiệt độ tại bất kì điểm nào cũng như tại bất kì thời gian nào sau đó.

Đốt nóng thanh kim loại

Phương trình truyền nhiệt có hai tính chất quan trọng. Tính chất thứ nhất, nguyên lí chồng chất nghiệm (superposition principle), nói rằng nếu ta biết được các nghiệm mô tả sự phân bố nhiệt độ của thanh kim loại cho bởi hai nguồn nhiệt khác nhau, chẳng hạn đốt nóng thanh tại điểm x hoặc ở điểm y, thì ta cũng biết được nghiệm mô tả sự phân bố nhiệt độ của nó khi đốt nóng thanh cùng lúc tại hai điểm x và y. Nghiệm này chỉ đơn giản là nhận được bằng cách cộng hai nghiệm trước đó với nhau.

Tính chất thứ hai nói rằng phương trình truyền nhiệt có tính chính quy (regularity, hay tính trơn). Giả sử sự phân bố nhiệt độ ban đầu rất khác nhau, chẳng hạn, đặt nửa trái của thanh kim loại vào lò nung ở 1000 độ C (rồi bỏ ra), còn nửa phải ở nhiệt độ phòng. Thế thì gần như ngay lập tức, nhiệt độ ở nửa trái sẽ lan truyền một cách đều đặn và liên tục ra toàn bộ thanh cho đến khi toàn bộ thanh đạt được một nhiệt độ ổn định (nói cách khác, ngay sau khi bỏ thanh kim loại ra khỏi lò, đồ thị nhiệt độ trong thanh là một hàm liên tục).

Chúng ta cũng mô tả được sự truyền nhiệt trong các đối tượng phức tạp hơn, khi thay thanh kim loại bởi một tấm kim loại hình chữ nhật, hình đĩa, hay một khối kim loại hình lập phương. Với những hình khối tổng quát hơn, mặc dù không phải lúc nào ta cũng tìm được nghiệm một cách chính xác, nhưng nguyên lí chồng chất nghiệm và tính chính quy thì vẫn luôn đúng cho mọi trường hợp.

Một sự tổng quát khả dĩ khác cho phương trình truyền nhiệt là khi thanh kim loại được tiếp tục cung cấp một nguồn nhiệt thay đổi theo thời gian, ta có phương trình truyền nhiệt cưỡng bức (forced, còn gọi là bài toán không thuần nhất). Lúc này nghiệm của bài toán nhận được nhờ áp dụng nguyên lí Duhamel, nói rằng nghiệm ở thời điểm t có thể viết như một sự chồng chất nghiệm của các thời điểm trước đó.

Món sốt mayonnaise thất bại và bề mặt lượn sóng của tấm tôn

Có nhiều phương trình đạo hàm riêng có dạng tương tự như phương trình truyền nhiệt, nhưng chứa thêm một số đại lượng khác làm cho việc nghiên cứu chúng trở nên khó khăn hơn rất nhiều. Một ví dụ điển hình là phương trình Allen – Cahn, mô phỏng hiện tượng tách pha (phase separation). Khi trộn một hỗn hợp nước với dầu ăn vào một cái bình thủy tinh và lắc mạnh, ta nhận được một thể nhũ: chúng không thể trộn lẫn hoàn toàn vào nhau, mà hình thành những giọt nhỏ li ti dầu và nước có thể quan sát thấy qua kính lúp.

Nguyên lí tương tự cũng xảy ra với nước sốt mayonnaise, một hỗn hợp nhũ tương của dầu ăn và dấm được kết dính với nhau bằng lòng đỏ trứng gà. Thiếu thành phần cuối cùng này (hoặc một thành phần có vai trò tương đương), thì dù bạn có cố gắng cách mấy, các giọt li ti dầu ăn và giấm cũng sẽ tụ họp dần dần thành hai lớp khác nhau! Đó là sự tách pha. Hiện tượng tương tự cũng được quan sát thấy trong một số loại hợp kim.

Để mô hình hóa hiện tượng này, hãy tưởng tượng có một chuỗi hạt cườm được nối với nhau bởi những chiếc lò xo. Đặt ngang chuỗi hạt lên trên một tấm tôn lượn sóng gồm hai rãnh song song cách nhau bởi phần chõm nhô lên cao ở giữa (xem Hình 2). Dưới tác dụng của trọng lực, mỗi hạt cườm đều có xu hướng lăn xuống đáy một trong hai rãnh. Tuy nhiên vì có sợi lò xo, các hạt lân cận hạt đó cũng có xu hướng bị kéo xuống rãnh theo. Các tương tác này là một sự mô phỏng tương tự cho hỗn hợp nhũ tương ở trên khi chúng tách thành hai phần dầu ăn và dấm, và xu hướng chuyển động của các phân tử của hai chất lỏng bao quanh các phân tử cùng loại. (Bạn đọc có thể xem một minh họa thú vị cho hiện tượng này ở đây https://www.youtube.com/watch?v=NDQHepkSeS8).

hinh2
Hình 2

Hình 2. Chuỗi hạt cườm và mayonnaise. Các hạt gắn với nhau bởi lò xo có thể chuyển động tự do theo phương $y$ nhưng bị cố định theo phương $x$ với một khoảng cách đều nhau (a). Khi chiều dài lo xo ngắn lại, ngắn hơn khoảng cách nhỏ nhất giữa các hạt, chúng sẽ có xu hướng xếp thành hàng (đường nét đứt). Đặt chuỗi hạt này lên một tấm tôn (b). Mỗi hạt cườm sẽ bị thu hút bởi các hạt lân cận của nó và bởi rãnh tấm tôn. Khi số hạt tăng lên vô hạn, sự chuyển động của chuỗi hạt được mô tả bởi phương trình Allen – Cahn một chiều.

Bây giờ lấy các chuỗi với số hạt cườm tăng dần còn lò xo thì ngắn dần (đương nhiên kích thước hạt sẽ phải bé dần). Tại điểm tới hạn, chuỗi hạt có thể được đặc trưng bởi một hàm Y(x,t), cho biết sự chuyển dịch ngang của chuỗi tại điểm x và tại thời gian t. Giả sử hai rãnh tương ứng với Y=1 và Y=-1, trong khi phần chõm là Y=0. Người ta chứng minh được rằng sự chuyển dịch ngang này tuân theo một phương trình đạo hàm riêng, nhận được bằng cách thêm vào phương trình truyền nhiệt một đại lượng Y-Y^3, biểu thị cho hiệu ứng đẩy các hạt về một trong hai rãnh. Phương trình này được đưa ra vào năm 1972 một cách độc lập bởi hai nhóm nghiên cứu, một nhóm gồm Nathaniel Chafee và Ettore Infante, nhóm kia là John Allen và Sam Cahn (xem Phụ lục 2).

Khác với phương trình truyền nhiệt, phương trình Allen – Cahn không có nghiệm hiển (explicit solution), cũng không thỏa mãn nguyên lí chồng chất nghiệm. Nguyên nhân là bởi có sự xuất hiện của đại lượng phi tuyến Y^3. Tuy vậy, ta có thể xây dựng được một nghiệm của nó bằng phương pháp xấp xỉ liên tiếp. Trước hết, hãy tạm quên đi đại lượng Y-Y^3 để trở về với phương trình truyền nhiệt, và gọi nghiệm của nó là Y_0. Ý tưởng là sau đó thay thế đại lượng Y-Y^3 bởi Y_0-Y_0^3 và nhận được một phương trình truyền nhiệt không thuần nhất mà ta đã biết cách giải. Gọi nghiệm của nó là Y_1, lại thay thế đại lượng trên bởi Y_1-Y_1^3, và cứ tiếp tục như thế, với hi vọng rằng chúng ta sẽ tiến một cách từ từ đến nghiệm chính xác của phương trình. Và điều này thực tế là đúng, thật vậy, phương pháp này chẳng qua là một biến thể của cais gọi là phép lặp Picard, nó cung cấp một con đường để tìm nghiệm của phương trình Allen – Cahn và vẫn hoạt động rất tốt trong trường hợp số chiều tăng lên (xem Hình 3).

hinh3
Hình 3

Hình 3. Sự tách pha. Chúng ta có thể mô phỏng hiện tượng này với một “thảm” hạt cườm được sắp xếp theo một mạng lưới ô vuông, liên kết với nhau bởi các lò xo (a). Chúng có thể chuyển động vuông góc với mặt phẳng. Sự tiến hóa của hệ này (b) được cho bởi nghiệm của phương trình Allen – Cahn ngẫu nhiên hai chiều, giải thích hiện tượng tách pha. Vùng màu đỏ và xam lam tương ứng với các pha nguyên chất (dầu ăn hoặc dấm), các vùng màu cam, vàng hoặc xanh lá cây là các vùng trộn lẫn với tỉ lệ khác nhau giữa hai pha. Bốn hình ảnh mô tả trạng thái của hệ sau 10, 50, 100 và 300 đơn vị thời gian.

Nhắc lại rằng, phép lặp Picard là một phương pháp giải phương trình vi phân bằng các phép xấp xỉ liên tiếp, càng nhiều phép lặp càng chính xác. Thực tế quy trình này thường được sử dụng để chứng minh sự tồn tại nghiệm của một phương trình vi phân hay phương trình đạo hàm riêng cụ thể nào đó.

Trong mô hình tách pha, chúng ta cũng có thể quan tâm đến sự biến đổi của kích cỡ các nhóm phân tử cùng loại theo thời gian, và các mặt phân cách (interface) giữa chúng (xem Hình 4).

hinh4
Hình 4

Hình 4. Bài toán sự tách pha từ mô hình các hạt cườm nảy sinh nhiều câu hỏi thú vị. Hình dạng, kích thước của các nhóm hạt cùng loại (tức các vùng cùng màu) thay đổi như thế nào theo thời gian? Liệu mặt phân cách giữa các nhóm cuối cùng có biến mất? Có thể mô tả được chuyển động của các bề mặt phân cách này theo thời gian? Lược đồ không-thời gian sẽ cho một câu trả lời. Không gian là bề ngang, thời gian là bề dọc từ cao xuống thấp. Các vị trí hạt cườm được đánh dấu bởi màu sắc như trên hình. Tại các điểm trên các phần “mõm” nhô ra sẽ xảy ra xung đột giữa các mặt phân cách, kéo theo sự biến mất dần của chúng.

Các hiện tượng tương tự như sự tách pha cũng được quan sát thấy trong các mô hình nam châm hay các mô hình về sinh thái (chẳng hạn mô tả sự hình thành các vết vằn hay lốm đốm trên lông động vật trong quá trình chúng lớn lên). Thêm một chút tưởng tượng, chúng ta thậm chí nhìn thấy điều tương tự trong một hệ mô tả sự phát triển của các quan điểm cá nhân. Xét một đất nước có hai đảng đối lập, ví dụ nước Mỹ. Những điểm xanh và những điểm đỏ tượng trưng cho một cách tương ứng những người tin vào Đảng Dân chủ và tin vào Đảng Cộng hòa, những điểm có màu trung gian tượng trưng cho những người chưa quyết định sẽ theo bên nào, với một thiên hướng mạnh hay yếu hướng đến một trong hai đảng. Chúng ta giả sử ở đây rằng mỗi người dân bị ảnh hưởng bởi những người hàng xóm của họ, và do đó hình thành những vùng mà trong đó mọi người cùng chia sẻ một quan điểm chính trị. Vậy phe nào sẽ chiến thắng trong cuộc bầu chọn tổng thống sắp tới? Câu trả lời sẽ có vào tháng 11 này! (Một ví dụ minh hoạ rõ nét khác và vẫn còn nóng hổi là cuộc trưng cầu dân ý về việc ở lại hay rời liên minh châu Âu của người Anh ngày 23 tháng 6 vừa rồi. Sau khi có kết quả kiểm phiếu với chiến thắng cho phe Brexit, rất nhiều người dân tỏ ra hối hận vì đã để lá phiếu của họ bị ảnh hưởng bởi những người xung quanh!)

Tình huống trong hệ của chúng ta sẽ phức tạp hơn một chút khi thêm một đại lượng ngoại lực ngẫu nhiên (nhiễu loạn) vào phương trình. Đó là kết quả của chẳng hạn sự chuyển động nhiệt của các phân tử không khí bao quanh các hạt cườm trong chuỗi. Khi các phân tử khí tác động qua lại với nhau, ta có thể mô tả tương tác giữa chúng bằng một khái niệm gọi là tiếng ồn trắng thời gian (temporal white noise), mà tác động của nó tới hệ tại những thời điểm khác nhau là độc lập với nhau.

Khi ta đi đến một giá trị tới hạn mà số hạt trên chuỗi tiến ra vô cùng, tiếng ồn trắng khi đó trở thành tiếng ồn trắng không-thời gian (spatiotemporal white noise). Nó tác động một cách độc lập tại những thời điểm và vị trí khác nhau. Chúng ta vì vậy đang đối mặt một SPDE, vì đã thêm vào một đại lượng tương ứng với tiếng ồn để mô tả một hệ vô hạn: đó là phương trình Allen – Cahn ngẫu nhiên. Chúng ta sẽ thấy rằng tiếng ồn này, hoàn toàn không chính quy (highly irregular) trong các điều kiện của ta, đã cản trở việc tìm nghiệm của phương trình khi chiều lớn hơn hay bằng 2.

Tetris và mặt phân cách

Một ví dụ khác về SPDE là khi ta phun các phân tử lên một vật chất nền, được sử dụng chẳng hạn trong công nghệ chế tạo vật liệu bằng kĩ thuật epitaxy (tạm dịch là kĩ thuật cấy ghép, một kĩ thuật cho phép chế tạo màng mỏng đơn tinh thể có độ tinh khiết rất cao, thực hiện trong môi trường chân không siêu cao, được phát minh vào những năm 60 của thế kỉ XX) cho các thiết bị điện tử. Để mô hình hóa quá trình này, hãy bắt đầu nguồn cảm hứng từ một dạng biến thể của nó là trò chơi Tetris. Xét trong không gian một chiều với một vật thể làm nền đặt nằm ngang cho trước. Các phân tử tạm coi là những hình vuông nhỏ, rơi thẳng từ một vị trí ngẫu nhiên từ trên xuống. Quy luật là khi hình vuông chạm vào nền, hoặc chạm vào một hình vuông khác bên cạnh hay bên dưới nó, nó sẽ không di chuyển được nữa. Tuy nhiên, các hình vuông có thể, với một xác suất nhỏ, di chuyển sang hai bên một khi nó xuất hiện. Câu hỏi là, làm thế nào biết được mức độ gồ ghề trên bề mặt của các vật liệu được sản xuất như vậy? (Xem Hình 5).

hinh5
Hình 5

Hình 5. Một sự đơn giản hóa của trò chơi Tetris. Việc phun các phân tử lên bề mặt vật liệu nền có thể mô hình hóa bởi một quá trình tăng trưởng ngẫu nhiên. Ở đó các phân tử được biểu diễn bởi các hạt hình vuông rơi xuống một vị trí ngẫu nhiên trên mặt phẳng nằm ngang, tương tự trò chơi Tetris. Mỗi hạt sẽ dừng lại khi nó chạm vào hạt khác. Hơn nữa, các hạt ở trên cao có thể di chuyển sang hai bên với một xác suất nhỏ. Độ thô ráp của bề mặt tăng lên khi xác suất này giảm xuống: bề mặt ở hình (a) thô hơn hình (b).

Vào năm 1986, Mehran Kardar, Giorgio Parisi và Yi-Cheng Zhang đã thiết lập được một SPDE mô tả quá trình tới hạn nhận được khi kích cỡ hình vuông tiến dần về 0 (xem Phụ lục 2). Phương trình này, được kí hiệu là KPZ, từ chữ cái đầu của tên ba tác giả, chứa các đại lượng của phương trình truyền nhiệt, mô tả sự chuyển động của các phân tử phun vào, cũng như một tiếng ồn trắng không-thời gian và một đại lượng phi tuyến đặc trưng bởi hình dạng của bề mặt nền phân cách. Thật không may, phương trình này lại không đặt chỉnh (ill-posed) do tính không chính quy của đại lượng tiếng ồn, và cho đến gần đây chúng ta đã không thể đưa ra được một lời giải có ý nghĩa toán học nào cho nó.

Để hiểu được bài toán, chúng ta phải lượng hóa tính không chính quy của các đại lượng có trong phương trình. Chúng ta có thể liên kết mỗi hàm f với một số r mà càng lớn khi hàm càng trơn. Nếu đồ thị của hàm số có tiếp tuyến tại mọi điểm thì r lớn hơn hoặc bằng 1. Hơn nữa nếu tại mọi điểm của f ta đều xác định được một độ cong, thì r ít nhất bằng 2. Nếu f chính quy bậc r, thì các đạo hàm riêng của f chính quy bậc r-1. Một cách ngược lại, nghiệm của phương trình truyền nhiệt cưỡng bức bởi f có bậc chính quy cao hơn r.

Phương trình không đặt chỉnh

Bậc chính quy r không nhất thiết phải là một số nguyên. Chẳng hạn chuyển động Brown, mô tả quỹ đạo hỗn loạn của một hạt phấn hoa giữa những hạt khác trong nước, có bậc chính quy nhỏ hơn 1/2 một chút (thực tế thì có thể xem nó là một số tùy ý nhỏ hơn và gần bằng 1/2). Các quỹ đạo của chuyển động Brown là không khả vi (chúng không có tiếp tuyến tại bất cứ điểm nào). Tuy nhiên, người ta có thể định nghĩa đạo hàm của chúng theo nghĩa phân phối.

Phân phối (distribution, còn gọi là hàm suy rộng), một đối tượng tổng quát hơn hàm số, là một lí thuyết được phát triển vào nửa đầu thế kỉ XX bởi các nhà toán học Jacques Hadamard, Salomon Bocher, Sergei Sobolev và Laurent Schwartz. Thay vì xác định giá trị của phân phối tại một điểm cụ thể, ta xác định giá trị trung bình của nó trong một lân cận nhỏ xung quanh điểm nó. Một số toán tử đại số được định nghĩa trên hàm phân phối: chúng ta có thể chẳng hạn thực hiện phép cộng và phép lấy đạo hàm chúng. Tuy nhiên, nhìn chung ta không thể thực hiện phép nhân hai phân phối.

Tiếng ồn trắng thời gian có thể xem như đạo hàm theo nghĩa phân phối của một quỹ đạo Brown, với bậc chính quy hơi bé hơn một chút so với -1/2 (chúng ta sẽ coi rằng giá trị này gần như bằng -1/2). Tiếng ồn trắng không-thời gian, trong khi đó, có bậc chính quy phụ thuộc vào chiều của không gian. Giá trị này xấp xỉ -3/2 trong không gian một chiều, xấp xỉ -2 trong không gian hai chiều, và xấp xỉ -5/2 trong không gian ba chiều. Đây là nơi chúng ta sẽ tìm ra lời giải của bài toán.

Thật vậy, chúng ta chứng minh được rằng nghiệm Y_0 của phương trình truyền nhiệt cưỡng bức bởi một tiếng ồn trắng có bậc chính quy lớn hơn 2 đơn vị, cụ thể là xấp xỉ 1/2, xấp xỉ 0 hoặc xấp xỉ -1/2 tùy theo số chiều của không gian.

Quá trình lặp Picard áp dụng cho phương trình Allen – Cahn yêu cầu tính toán, ở bước thứ hai, đại lượng Y_0 - Y_0^3. Trong không gian một chiều, Y_0 có bậc chính quy dương, vấn đề không đáng ngại. Với không gian chiều 2 hoặc 3, Y_0 lúc này là một phân phối từ việc nó có bậc chính quy âm. Như chúng ta đã biết, không thể thực hiện phép nhân các phân phối, đại lượng Y_0^3 trở nên vô định, và quá trình lặp do đó không thể thực hiện được. Phương trình KPZ, cũng vậy, chứa bình phương đạo hàm của Y_0. Đạo hàm này có bậc chính quy âm thậm chí với chiều không gian 1, phép lặp Picard không thể áp dụng cho phương trình KPZ.

Tái chuẩn hóa và lí thuyết cấu trúc chính quy

Đến lúc này, chúng ta có thể tự hỏi rằng liệu có thực sự nên đâm đầu vào các bài toán SPDE không đặt chỉnh như vậy? Thực tế, trong hai ví dụ mà ta đã thảo luận, chúng ta đã bắt đầu với một mô hình rời rạc với một số hữu hạn các đối tượng (các hạt cườm hay các hình vuông), chúng đương nhiên là hoàn toàn xác định. Vấn đề chỉ xuất hiện khi ta chuyển qua giới hạn khi cho kích thước của các đối tượng này tiến dần một cách liên tục về 0.

Tuy nhiên ta sẽ thấy rằng việc đâm đầu vào nó là không vô ích, và lí do cho những việc làm này của chúng ta đến từ khái niệm về tính phổ quát. Mô hình rời rạc của sự phát triển của bề mặt phân giới là một trường hợp đặc biệt giữa rất nhiều mô hình có thể có. Chúng ta tuy vậy biết rằng một lượng lớn các mô hình này bị điều chỉnh, trong diện rộng, bởi phương trình KPZ. Đây chính là một đặc tính phổ quát, và sự hiểu biết về nó sẽ làm sáng tỏ cùng một lúc toàn bộ các mô hình cùng loại.

Bài toán giới hạn liên tục đã và đang xuất hiện trong vật lý lượng tử, nơi nó được gọi là sự phân kì tia tử ngoại (ultraviolet, còn gọi là tia cực tím, hay tia UV). Thực tế, phương trình Allen – Cahn tương đương một cách hình thức với một mô hình của lí thuyết trường, gọi là mô hình \Phi^4. Từ những năm 1930, các nhà vật lý đã đề xuất việc giải bài toán này bằng một phương pháp gọi là tái chuẩn hóa (renormalization). Ý tưởng là đưa vào các tham số của lí thuyết tỉ lệ (scaling theory) mà trên đó hệ có thể quan sát được.

Trong trường hợp phương trình Allen – Cahn, phương pháp này là làm cho phần sườn giữa chõm và rãnh tấm tôn ngày càng dốc khi khoảng cách giữa các hạt cườm giảm dần (xem Hình 2). Với sự lựa chọn thích hợp độ cong của phần chõm, ta nhận được một phương trình đặt chỉnh (well-posed) tại trường hợp tới hạn. Điều lấn cấn duy nhất còn lại của quy trình này là nó được thiết đặt hoàn toàn dựa trên các tính toán hình thức mà không có một lập luận toán học chính xác nào.

Tuy nhiên, vào năm 1997, Lorenzo Bertini và Giambattista Giacomin, bằng việc sử dụng phép đổi biến rất khéo léo, đã đạt được một kết quả chứng minh sự hội tụ của mô hình sự phát triển của bề mặt phân cách đến một dạng tái chuẩn hóa của phương trình KPZ. Sau đó, vào năm 2003, Giuseppe da Prato và Arnaud Debussche đã có thể chứng minh được sự tồn tại nghiệm cho phương trình Allen – Cahn tái chuẩn hóa hai chiều. Chỉ còn một khiếm khuyết duy nhất, các kĩ thuật này không sử dụng được nữa trong không gian chiều ba.

Đóng góp quan trọng của Martin Hairer là phát triển một lí thuyết cho phép xử lí một cách có hệ thống một lượng lớn SPDE cổ điển không đặt chỉnh. Nó không những cho phép tìm lại các kết quả đã biết cho phương trình KPZ và phương trình Allen – Cahn hai chiều, mà còn áp dụng được cho phương trình Allen – Cahn ba chiều và nhiều phương trình khác.

Khái niệm trung tâm của lý thuyết này là cấu trúc chính quy (regularity structure). Cùng với phương pháp tái chuẩn hóa, nó cho phép xây dựng một không gian mà trong đó các phép lặp Picard vẫn hoạt động tốt. Nét đẹp cũng như sức mạnh của lí thuyết là nó cung cấp một lược đồ tổng quát, cho phép xử lí một cách có hệ thống các phương trình thay vì tìm kiếm từng lời giải riêng rẽ. Lí thuyết này là một trong những bước tiến quan trọng hướng tới việc chứng minh một số bài toán mở liên quan đến tính phổ quát, và chúng ta có thể hi vọng vào những tiến bộ mạnh mẽ hơn trong tương lai. (Xem một video Hairer trình bày về KPZ.)

Phụ lục

  1. Phương trình truyền nhiệt. Nhiệt độ T(x,t) tại điểm x và thời gian t của thanh kim loại được xác định bởi phương trình \partial T/\partial t = D \partial^2 T/\partial x^2 ở đó D là hệ số dẫn nhiệt. Trong phương trình này, số hạng bên trái, đạo hàm riêng của hàm nhiệt độ T đối với biến thời gian t (khi xem x như hằng số), mô tả tốc độ biến đổi của nhiệt độ. Số hạng bên phải, đạo hàm riêng cấp hai của hàm nhiệt độ đối với biến không gian, đặc trưng cho tính không đồng nhất của vật liệu. Hàm G(x,t) = e^{-x^2/4DT}/\sqrt{4\pi Dt} là một nghiệm riêng của phương trình, với việc lí tưởng hóa thanh kim loại dài vô hạn.Khi cố định thời gian, G là một đường cong Gauss có dạng hình chuông, một đối tượng đóng một vai trò nền tảng trong lí thuyết xác suất. Bề rộng của chuông, tỉ lệ với \sqrt{Dt}, tăng lên theo thời gian, nhưng bằng 0 tại 0. Nghiệm này cho ta biết rằng, nhiệt độ ban đầu bằng 0 ở mọi nơi trừ điểm 0, điểm nguồn nơi mà thanh kim loại được tiếp xúc nguồn nhiệt. Nếu điểm nguồn là một điểm y nào đó, thì nghiệm sẽ được cho bởi G(x-y,t). Nguyên lí chồng chất nghiệm, một tính chất của phương trình truyền nhiệt, chỉ ra rằng nghiệm tổng quát của phương trình truyền nhiệt viết được dưới dạng T(x,t)= \int G(x-y,t)T(y,0) dy. 

    Nếu thay thanh kim loại bởi một đĩa kim loại hai chiều, hàm nhiệt độ sẽ là T(x,y,t) với hai biến tọa độ không gian xy và biến thời gian t. Phương trình lúc này có dạng \partial T/\partial t = D \Delta T với \Delta T là tổng đạo hàm riêng cấp hai của T đối với xy (toán tử Laplace). Phương trình nhiệt ba chiều có dạng tương tự, với ba tọa độ không gian.

    Một tính chất khác của phương trình truyền nhiệt là tính chính quy (xem Hình 6).

    hinh6
    Hình 6

    Sự lan truyền đều đặn của nhiệt độ. Ban đầu, nhiệt độ nửa trái thanh sắt đang ở mức cao (màu đỏ), trong khi nửa phải đang ở nhiệt độ phòng. Sai khác này mất dần khi nhiệt độ lan dần ra toàn thanh, và không có bước nhảy nhiệt độ trong thanh trừ thời điểm ban đầu.

  2. Phương trình Allen – Cahn và phương trình KPZ.
    Phương trình Allen – Cahn ngẫu nhiên mô tả sự tách pha có thể viết dưới dạng \partial Y/\partial t = D\Delta Y + Y-Y^3 +\xi. Ở đây \Delta Y biểu thị liên kết giữa mỗi hạt cườm với các hạt lân cận với nó thông qua lò xo. Đại lượng Y-Y^3 đặc trưng cho lực tổng hợp giữa trọng trường và phản lực của tấm tôn, là nguyên nhân làm cho hạt cườm có xu hướng chạy về các vị trí Y=1Y=-1. Số hạng cuối cùng \xi mô tả tiếng ồn trắng không-thời gian, một ngoại lực ngẫu nhiên mà sự tác động của nó tại các thời điểm và vị trí khác nhau tới phương trình là độc lập với nhau. 

    Phương trình KPZ mô tả sự phát triển của một bề mặt phân cách, đặc trưng bởi hàm cao độ của nó h(x,t) tại điểm x và thời gian t, có dạng \partial h/\partial t = D \partial^2 h/\partial x^2 + (1/2)(\partial h/\partial x)^2 +\xi. Số hạng đầu tiên bên tay phải xuất hiện do sự hoán đổi vị trí của các phân tử cạnh nhau. Tiếng ồn trắng không-thời gian \xi mô tả ngoại lực ngẫu nhiên tác động lên chúng. Hạng tử cuối cùng (\partial h/\partial x)^2 đến từ thực tế rằng mặt phân cách không nhất thiết phải phát triển theo phương thẳng đứng, mà còn theo phương vuông góc với chính nó. Giá trị này nhận được bằng cách chiếu tốc độ phát triển của bề mặt lên phương thẳng đứng, kết hợp với định lí Pythagoras và một số phép xấp xỉ những giá trị nhỏ.

  3. Lí thuyết cấu trúc chính quy.
    Lí thuyết phát triển bởi Martin Hairer được lấy cảm hứng từ một khái niệm gọi là đường thô (rough paths) do Terry Lyons đưa ra vào năm 1998 và mở rộng bởi Massimiliano Gubinelli. Nó có thể xem như một sự tổng quát hóa của chuỗi Taylor, cho phép xấp xỉ các hàm đủ trơn bởi các đa thức. Chẳng hạn, khai triển Taylor bậc hai của hàm f tại x được cho bởi f(y) = f(x)+c_1(x)(y-x)+c_2(x)(y-x)^2 + r(x,y), ở đó phần dư r(x,y) tiến đến 0 khi y tiến dần về x. Các hệ số c_1(x), c_2(x) phụ thuộc vào f, chẳng hạn c_1(x) là đạo hàm của f tại điểm x. Kiểu khai triển này thường được sử dụng để xác định nghiệm của một phương trình vi phân gần một điểm cụ thể cho trước. 

    Lí thuyết của Martin Hairer cho phép có nhiều đối tượng trừu tượng phức tạp hơn đa thức trong khai triển Taylor của nghiệm. Các đối tượng này bao gồm chẳng hạn nghiệm Y_0 của phương trình truyền nhiệt cưỡng bức bởi tiếng ồn trắng không-thời gian. Thay vì xem xét phương trình gốc, chúng ta nghiên cứu các phương trình thỏa mãn tất cả các hệ số trong khai triển Taylor.

    Phương pháp xấp xỉ liên tiếp Picard cho phép chứng minh sự tồn tại nghiệm trong không gian của các hệ số này. Cuối cùng, một định lí xây dựng lại liên kết một phân phối với nghiệm này. Định lí này sử dụng lí thuyết sóng nhỏ wavelet, một lí thuyết cũng được áp dụng nhiều trong kĩ thuật rửa ảnh, bao gồm cả ảnh kĩ thuật số.

  4. Một phiên bản trước của bài viết này, tựa đề Qu’est-ce qu’une Équation aux Dérivées Partielles Stochastique? (do tác giả bài viết gửi cho người dịch, có một số điểm khác, đặc biệt có nhiều video minh họa), đã được đăng trên Images des Mathématiques (một tạp chí toán học online của Trung tâm Nghiên cứu Khoa học Quốc gia Pháp – CNRS, trình bày các nghiên cứu toán học ra đại chúng bằng từ ngữ và hình ảnh, với mục tiêu tất cả bài viết được viết bởi các nhà toán học nhưng không có bài viết nào được viết dành cho các nhà toán học!), có thể đọc online tại địa chỉ http://images.math.cnrs.fr/Qu-est-ce-qu-une-Equation-aux-Derivees-Partielles-Stochastique.

Tài liệu tham khảo
[1] M. Hairer, A theory of regularity structures, Inventiones Mathematicae, vol. 198, pp. 269-504, 2014.
[2] G. Da Prato and A. Debussche, Strong solution to the stochastic quantization equations, Ann. Probab., vol. 31, pp. 1900-1916, 2003.
[3] L. Bertini and G. Giacomin, Stochastic Burgers and KPZ equations from particle systems, Comm. Math. Phys., vol. 183, pp. 571-607, 1997.
[4] M. Kardar et al., Dynamic scaling of growing interfaces, Physical Review Letters, vol. 56, pp. 889-892, 1986.

Advertisements

Một bài giảng về toán học đại chúng

Chắc hẳn ai trong chúng ta cũng đã từng được nghe đến đâu đó những thuật ngữ như không gian ba chiều, không gian bốn chiều, hay không gian n chiều… (Mở ngoặc, nếu bạn là fan của Đôrêmon thì chắc chẳng có gì lạ với túi thần kỳ-túi 4 chiều không đáy đúng không? :-P). Tuy nhiên, ngoại trừ không gian ba chiều mà chúng ta đang sống là có thể “cảm nhận” được (dù không thực sự cầm-sờ-nắn-bóp được!), liệu có một cách nào đó giúp ta có một chút mường tượng về các không gian chiều khác ba hay không?

Bài giảng với tựa đề Hình dung về hình dạng của vật thể trong không gian chiều cao (Understanding shapes in high dimensions)  của Nicos Georgiou, một giảng viên chuyên ngành Xác suất Toán học của đại học Sussex, cho một cái nhìn khá đầy đủ về vấn đề thú vị này. Từ những hình dung khá hài hước về không gian một chiều, hai chiều, đến những chiều cao hơn, kèm những minh hoạ sinh động, bài giảng thực sự lôi cuốn hơn 150 thính giả có mặt, dù chỉ diễn ra trong một giờ. Tôi upload lên đây slides của bài giảng, có thể nó có ích cho ai đó, dù slides chỉ tóm tắt và không sinh động như bài nói. Ở Viện Nghiên cứu Cao cấp về Toán gần đây thỉnh thoảng cũng có những bài giảng đại chúng như thế này. Hi vọng rằng điều đó sẽ được duy trì và nhân rộng nhiều hơn nữa!

Download Slides ở đây: Dimension

P.s. Người trình bày bài giảng này, Dr Nicos Georgiou hiện đang có đề tài PhD available cho năm nay (2016), cụ thể xem ở đây. Bạn nào đang tìm kiếm học bổng nghiên cứu sinh chuyên ngành Xác suất thì nhanh tay lên! 🙂

Hoàng tử ếch và xác suất

Lời bạt. Hoàng tử ếch, một câu chuyện trong tuyển tập truyện cổ Grimm mà nhiều em nhỏ nằm lòng, lại là đề tài cho một bài toán xác suất thú vị. Bài viết dưới đây của tác giả John Billingham, giáo sư cơ học lí thuyết tại trường đại học Nottingham, bản dịch tiếng Việt của Lưu Minh Đức.

Một nàng công chúa đi lạc vào 1 khu rừng nọ. Đến 1 cái ao thì 1 mụ phù thủy hiện ra và nói “Đứng lại nào, con bé kia! Ta đã biến 1 hòang tử đẹp trai thành con ếch và giam cầm nó trong cái ao này cùng với 99 con ếch khác. Mỗi con ếch đều mang 1 số trên lưng và con số của hoàng tử là lớn nhất. Đấy là cách duy nhất để ngươi nhận ra nó từ trong lũ ếch. Nếu ngươi muốn rời khỏi khu rừng đã bị ếm bùa này, ngươi phải tìm ra hoàng tử và hôn nó. Mỗi con ếch sẽ lần lượt nhảy lên khỏi hồ. Khi mổi con ếch xuất hiện, ngươi phải quyết định hôn nó hay đá nó trở lại vào ao, và mỗi con ếch chỉ nhảy lên đúng 1 lần mà thôi. Nếu ngươi hôn phải ếch thật hoặc không chịu hôn con nào thì ngươi sẽ không thể rời khu rừng và hoàng tử thì vĩnh viễn ở lại trong hồ. Và với 1 tràng cười quỷ quyệt, mụ ta chìm trở lại xuống hồ. Rất may, công chúa của chúng ta rất giỏi toán và đã tìm được chiến lược tốt nhất để quyết định nên hôn chú ếch nào…

Download file để đọc tiếp: kissingfrogprince (file source: Diễn Đàn Toán Học).

Trên đây là dản dịch (phỏng theo) và chưa đầy đủ lắm (nếu có thời gian mình sẽ bổ sung hoặc dịch lại). Để đọc bản gốc tiếng Anh, click vào đây: Kissing the frog: A mathematician’s guide to mating.